二次曲线
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二次曲线
二次曲线
用一个平面去截一个
二次曲线
考虑焦点--准线观点下的圆锥曲线定义。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比）称为圆锥曲线的
由
对于圆锥曲线的最早发现，众说纷纭。有人说，古希腊数学家在求解“立方倍积”问题时，发现了圆锥曲线：设x、y为a和
又有人说，古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截时发现了与“立方倍积”问题中一致的结果。还有认为，古代天文学家在制作日晷时发现了圆锥曲线。
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离和等于定长
标准方程：
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e;平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离差等于定长
标准方程：
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是等于1。定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线。
参数方程
x=
直角坐标
y=ax²+bx+c （开口方向为y轴，a≠0） x=ay²+by+c （开口方向为x轴，a≠0 )
椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。且当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
这里的参数e就是圆锥曲线的离心率，它不仅可以描述圆锥曲线的类型，也可以描述圆锥曲线的具体形状，简言之，离心率相同的圆锥曲线都是相似图形。一个圆锥曲线，只要确定了离心率，形状就确定了。特别的，因为抛物线的离心率都等于1，所以所有的抛物线都是相似图形。
1、在圆锥中，圆锥曲线极坐标方程可表示为：
其中l表示半径，e表示离心率；
2、在平面坐标系中，圆锥曲线极坐标方程可表示为：
其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。
圆锥曲线左右焦点为F1、F2，其上任意一点为P(x,y），则焦半径为：
椭圆
|PF1|=a+ex
|PF2|=a-ex
双曲线
P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex
P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex
P在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey
P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey
抛物线
|PF|=x+p/2
圆锥曲线的焦点到准线的距离p，叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。
椭圆：b²/c
双曲线：b²/c
抛物线：p
椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形。
设F₁、F₂分别为椭圆或双曲线的两个焦点，P为椭圆或双曲线上的一点且PF₁F₂能构成三角形。
若∠F₁PF₂=θ，则椭圆焦点三角形的面积为S= b²tan(θ/2)；
双曲线焦点三角形的面积为S= b²cot(θ/2)
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦称为通径。
椭圆的通径：2b²/a
双曲线的通径：2b²/a
抛物线的通径：2p
圆锥曲线 | 椭圆 | 双曲线 | 抛物线 |
标准方程 | x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0) | x²/a²-y²/b²=1 (a>0,b>0) | y²=2px (p>0) |
范围 | x∈[-a,a] y∈[-b,b] | x∈(-∞，-a]∪[a,+∞) y∈R | x∈[0,+∞) y∈R |
对称性 | 关于x轴，y轴，原点对称 | 关于x轴，y轴，原点对称 | 关于x轴对称 |
顶点 | (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) | (a,0),(-a,0) | (0,0) |
焦点 | (c,0),(-c,0) 【其中c²=a²-b²】 | (c,0),(-c,0) 【其中c²=a²+b²】 | (p/2,0) |
准线 | x=±a²/c | x=±a²/c | x=-p/2 |
渐近线 | —————— | ————— | |
离心率 | e=c/a,e∈（0,1) | e=c/a,e∈（1,+∞） | e=1 |
焦半径 | ∣PF₁∣=a+ex ∣PF₂∣=a-ex | ∣PF₁∣=∣ex+a∣ ∣PF₂∣=∣ex-a∣ | ∣PF∣=x+p/2 |
焦准距 | p=b²/c | p=b²/c | p |
通径 | 2b²/a | 2b²/a | 2p |
参数方程 | x=a·cosθ y=b·sinθ，θ为参数 | x=a·secθ y=b·tanθ，θ为参数 | x= y= |
过圆锥曲线上一点 (x0,y0）的切线方程 | x0·x/a²+y0·y/b²=1 | x0x/a²-y0·y/b²=1 | y0·y=p(x+x0) |
斜率为k的切线方程 | y=kx±√(a²·k²+b²) | y=kx±√(a²·k²-b²) | y=kx+p/2k |
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