阿罗证券

阿罗证券是一种状态-收益支付结构类似或有权益证券的契约。该种证券承诺在某一特定自然状态发生的条件下，支付一单位的购买力;如果该状态没有发生，则该证券的持有者什么也得不到。因此，阿罗证券的标的是一单位的计价商品(货币)或购买力。

二十世纪六十年代之后经济学家们围绕交易费用概念和科斯定理的广泛讨论和新制度经济学崛起，自然不能不引起西方主流经济学家的广泛注意和自我反思。因此，从二十世纪七十年代初开始，以阿罗为代表的一些新古典主流经济学家就想致力于在瓦尔拉斯—阿罗—德布鲁均衡中引入“

我们要介绍的是一种状态一收益支付结构类似或有权益证券的新证券一一阿罗证券，或者称之为纯证券(puresecurity)。与或有权益证券以一单位的某种特定商品为标的不同，阿罗证券的标的是一单位的记价商品(货币)或者说购买力。因此阿罗证券就其本质而言，也是或有权益证券的一种。它承诺:在某一特定世界状态发生条件下，交割一单位的购买力;如果该状态没有发生，则该证券的持有者什么也得不到。
一旦获得了这种购买力，消费者就可以在该状态中的现货市场上购买实际消费品。由于这种证券是因状态而设的，因此可以想象最多最多会有S种阿罗证券。当然也有可能会达不到这个数目，后面的分析会显示这一点在决定均衡效率是否存在的问题上至关重要。令
代表阿罗证券价格向量。令 $sim heta_k^i$ 代表典型消费者i拥有的阿罗证券的数量。同上面的或有权益证券一样，它可以是正的，表示该消费者持有者 $sim heta_k^i$ 数量的第k种阿罗证券;也可以是负的，表示该消费者卖出该种阿罗证券的数量。阿罗证券构成的资产组合可以记为:
定义3.2.2如果K=S，即阿罗证券的种类同世界状态的种类数目一样多，则称这一由阿罗证券构成的市场是完备的(complete)，如果阿罗证券的种类要比世界状态的数目少，则称为该市场为不完备的(incomplete)。
我们想证明这样一个命题:如果阿罗证券市场是完备的，它可以创造出同或有权益证券市场同样多的交易机会。
考虑阿罗证券市场下的消费者最优化行为:
maxi(Ci)
s.t.
$C^i ge 0$
预算集( $varsigma^i , sim{p} , sim{ heta}^i$ )中第一个约束条件是说:消费者在0时刻购买一定数量的纯证券，初始资源禀赋中的剩余部分用于当期的消费;第二组约束条件可以理解为，当s状态发生时，消费者获得(或者失去)一定数量的购买力，并把它们加入到该状态下的资源禀赋价值上去(或者从资源禀赋价值中减去)，全部用于消费。需要注意的是:因为一单位的阿罗证券提供一单位的购买力，因此阿罗证券组合˜θi本身就代表购买力的数量。
在第二组的，个约束条件左右两边同时乘以相应的P}，然后在状态间加总，可以得到:
注意，这里我们就用到了K=S这一条件。把上式同第一个约束条件合并，抵消同类项并再次重写消费者最优化行为，得:
maxi(Ci)
s.t.
$C^i ge 0$
我们知道在均衡时刻，在，状态下，获得一单位的第m种商品的或有权益证券价格是 $hat{p_{sm}}$ 。换一种思路，我们会问同样得到这种商品需要多少阿罗证券呢?由于这种商品在1时刻的现货价格是qsm，而一份阿罗证券只能提供一单位的购买力，因而需要q_{sm}，单位的阿罗证券，而一单位的阿罗证券现在价值 $hat{p_sm}$ ，所以为了得到这一单位的第m种商品，一共需要 $q_{sm}hat{p_s}$ 数量的投资。由于所得相同，因此这两种投资方式是等价的，也就必然有:
把它和 $q_{0m} = hat{0m}$ 代入约束条件，得：
$hat{p_0} C_0^i + sum_{s=1}^s hat{p_s} C_s^i le hat{p_0} varsigma_0^i + sum_{s=1}^S hat{p_s} varsigma_s^i$

把该式与或有权益证券市场下，个人最优化问题中的约束条件对照一下
，可以发现它们是完全相同的。换句话说，投资于阿罗证券的投资者，实际上面临同在或有权益证券市场经济中一样的预算约束，因此他们可以获得同样多的交易机会和相应的均衡配置。
这样，一个完备的阿罗证券市场就完全复制了或有权益证券市场均衡。但值得注意的是:即便是一个完备的阿罗证券市场，所需要的证券数目也已经大大地减少了。为了获得同或有权益证券市场中同样多的交易机会，在0时刻需要M个现货市场和S个阿罗证券市场，当某一状态发生后，还需要开放M个现货市场进行进一步的交易，把购买力兑换成实际消费品。同或有权益证券市场相比，市场数目从(S+1)×M锐减到S+2M。因此，或有权益证券市场均衡复制了帕累托最优的纯交换经济市场均衡;而阿罗证券市场又用较少种类和数目的证券，复制了有权益证券市场均衡。它们是为了获得同样的帕累托效率的不同市场结构和制度安排。