埃利·约瑟夫·嘉当

埃利·约瑟夫·嘉当（EIie Joseph Cartan，1869年4月9日─1951年5月6日），法国数学家。巴黎高等师范学校毕业。巴黎大学教授。法兰西科学院院士。利用外微分形式和活动标形法研究李群论和微分几何学。对李群的结构和表示、黎曼空间几何学都有重要贡献。

嘉当出生在法境阿尔卑斯山的一个小村庄里，父亲是一个铁匠。由于幼年时的天才表现，大为当时政治家D.昂托南(Antonin)赏识，被保荐获得国家助学金，从而得以完成初等教育。1888年嘉当进入法国高等师范学校，毕业后先后在蒙彼利埃大学、里昂大学、南锡大学、巴黎大学任教。在1894年取得博士学位后，他在蒙比利艾和里昂任教，并于1903年在南锡当上教授。他在1909年到巴黎任教，1912年成为巴黎大学教授直至1942年退休。1931年当选为法国科学院院士。1937年为表彰嘉当在研究关于几何学和群论方面的成苏联喀山物理数学协会曾邀请他出席授予罗巴切夫斯基奖金的仪式。后来还得到许多荣誉学位，并为一些科学社团选为国外院士。

1951年5月6日他卒于巴黎。数学家亨利·嘉当是他的儿子，曾指导过华人数学家陈省身。

据他自己在“科研简介”(Notice sur les travaux scientifiques)所作的描述，他的工作(总数达186，发表于1893-1947年间)的主题是李群的理论。他从在复的简单李代数上的基础材料上的工作开始，把恩格尔(Christian Engel)和基令(Wilhelm Killing)先前的工作整理起来。这被证明是有决定性意义的，至少对于分类来讲，他鉴定出4个主要的族和5个特殊情况。他也引入了代数群的概念，它在1950年之前并没有被认真地发展过。

他也定义了反对称微分形式的一般概念，以我们现在所使用的风格；他通过马尤厄－嘉当方程处理李群的方式要用到2-形式来表达。那时，称为Pfaffian系统（也就是用1-形式表达的1阶微分方程组）的概念很常用；通过引入表示导数的新变量，和额外的微分形式，他们可以表述很一般的偏微分方程(PDE)系统。嘉当加入了外导数，作为一个完全几何式的坐标无关的操作。这很自然导致了对于一般的p讨论p-形式的需要。嘉当描述了Riquier的一般PDE理论对他的影响。

基于这些基础 – 李群和微分形式 – 他继续深入完成了大量工作，以及一些通用的技术，例如移动标架法，这些逐渐融入到数学的主流中。

嘉当对近代数学的发展做出了极大的贡献。流形上的分析是当今极为活跃的数学分支，嘉当可以称得上是该分支的重要缔造者，他无疑是最伟大的数学家之一。嘉当的工作大致分为李群，微分方程和几何三部分，当然它们之间有联系。

一、李群

嘉当之前研究李群的只有两位，一位是S．李(Lie)，另一位是W．基灵(Killing)。李考虑的是一个解析流形上带有n个解析参数的一族解析变换，而这族变换构成一个群。后来基灵在他的文章中隐约提到研究对象需有一个战略上的转移，即摆脱承受变换作用的解析流形而只讨论带有n个参数的一族元素，他们构成一个群G。到了嘉当这个观点就被十分明确地提出来了，达到了人们对李群的基本认识。

二、偏微分方程

嘉当在前人处理普法夫方程的基础上，意义深远地处理了偏微分方程组的问题，从问题的提法到研究的方式均不同于经典的做法，表现了强烈的几何倾向。嘉当提出了一个求奇解的方法，叫延拓法(prolongation)。具体说来就是按一定计划增加新的变数，扩充原来的微分理想，使得原微分理想的奇解就是新微分理想的一般解。

嘉当的微分方程组理论使他在无限李群，微分几何，分析力学，广义相对论等方面得出了深刻的结果。

三、几何

嘉当对微分几何学的贡献是巨大的，在众多深刻的结果中特别引人注目的是，他关于活动标架法，纤维丛的联络论以及对称空间的研究。

活动标架法的先驱当数J．达布(Darboux)，里博库尔(Ribaucour)和E．切萨罗(Cesaro)。嘉当是活动标架法的集大成者。

嘉当是纤维丛联络论的开创人，

嘉当在黎曼几何方面最重要的工作无疑是黎曼对称空间的理论，这一理论的发现、发展和完善皆归功于嘉当一个人。

嘉当的研究成就涉及连续群论、微分方程与微分几何理论等方面。在多维空间微分几何学方面，嘉当建立了仿射的、射影的及保形的广义联络空间，得到了活动构架的一般方法。嘉当因几何学和群论等方面的研究成就，曾获得罗巴切夫斯基国际奖金和法国科学院的多次奖金。

嘉当的主要著作有《活动构架方法，连续群论与广义空间》、《黎曼空同几何学》、《积分不变式势、《旋量理论》、《李群几何学与对称空间》等多部。