有理数

“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

有理数为整数和分数以及0的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

有理数集是整数集的扩张。在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。

有理数的大小顺序的规定：如果  是正有理数，当  大于或小于  ，记作  或  。任何两个不相等的有理数都可以比较大小。

有理数集与整数集的一个重要区别是，有理数集是稠密的，而整数集是密集的。将有理数依大小顺序排定后，任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数，这就是稠密性。整数集没有这一特性，两个相邻的整数之间就没有其他的整数了。

有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。

有理数的分类按不同的标准有以下两种：

（2）按有理数的性质分类:

有理数

同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两数相加得0。

一个数同0相加仍得这个数。

互为相反数的两个数，可以先相加。

符号相同的数可以先相加。

分母相同的数可以先相加。

几个数相加能得整数的可以先相加。

减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。

同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与零相乘，都得零。

几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。

几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。

几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。

除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任意一个不等于零的数，都得零。

注意：

零不能做除数和分母。

有理数的除法与乘法是互逆运算。

在做除法运算时，根据同号得正，异号得负的法则先确定符号，再把绝对值相除。若在算式中带有带分数，一般先化成假分数进行计算。若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。

负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。例如：(-2)³（-2的3次方）=-8，(-2)²（-2的2次方）=4。

正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。例如：2（2的2次方）=4，2 （2的3次方）=8，0（0的3次方）=0。

零的零次幂无意义。

由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。

1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。

加法运算律:

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即 。

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变，即

（a+b）+c=a+（b+c）a+b=b+a

减法运算律：

减法运算律：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：

a-b=a+（-b）

乘法运算律：

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即 。

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数先乘，或者先把后两个相乘，积不变，即 。

乘法分配律：某个数与两个数的和相乘等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即

a（b+c）=ab+ac（ab）c=a（bc）ab=ba

有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果是同级运算，则按照从左到右的顺序依次计算。

除以零的谬误

在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明： 

·由：0a=0，0b=0，得出0a=0b。

·两边除以零，得出0a/0=0b/0。

·化简，得：a=b。

以上谬论一个假设，就是某数除以0是容许的，并且

若某数学系统遵从域的公理，则在该数学系统内除以零必须为没有意义。这是因为除法被定义为是乘法的逆向操作，即 值是方程bx=a中x的解（若有的话）。若设b=0，方程式bx=a可写成0x=a或直接0=a 。因此，方程bx=a没有解（当 a不等于0时），但是任何数值也可解此方程（当a=0时）。在各自情况下均没有独一无二的数值，所以未能下定义。

整数，是序列{...，-3，-2，-1，0，1，2，3，...}中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然数一样，整数也是一个可数的无限集合。这个集合在数学上通常表示为粗体Z或，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。

在代数数论中，这些属于有理数的一般整数会被称为有理整数，用以和高斯整数等的概念加以区分。

全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

Z是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或 -1的和。1和 -1是Z仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与（Z,+）同构。