因果系统

因果系统，又称非超前系统 (nonanticipative system)即输出不可能在输入到达之前出现的系统。也就是说，系统n时刻的输出，只取决于系统n时刻以及n时刻之前的输入，而与n时刻之后的输入无关。系统的这种性质称为因果特性。与之相对应的是非因果系统和反因果系统。

非因果系统(noncausal system)：指当前时刻的输出不仅取决于当前的输入，还取决于将来的输入的系统。

反因果系统(anticausal system)：当前时刻的输出仅取决于将来的输入的系统。

t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。特殊的，当该系统为线性移不变系统时：

（1）时域判决：

系统的冲激响应函数h(t)，在t<0的条件下，h(t)=0，则此系统为因果系统；如果系统的单位冲激响应在t>0时，h(t)=0，就说该系统是反因果的。

（2）S域判决：

系统函数的收敛域应该是s平面上某一收敛轴的右半平面。换句话说，系统函数的极点只能分布在s平面上收敛轴的左半平面。

（1）时域判决：

k=k1的输出y(k1)只取决于k≤k1的输入x(k≤k1)时，则此系统为因果系统。特殊的，当该系统为线性时不变系统时，系统的冲激响应函数h(k)，在k<0的条件下，h(k)=0，则此系统为因果系统。即因果系统是激励加入之前不会出现响应的系统。

（2）频域判决：

在Z域中，因果系统的判定为：

(1)在H(z)中不会出现Z的正幂；

(2) H(z)的收敛域必在某圆外；

(3)在下式中，只有m≤n

函数：1.y(t)=x(sin(t)) 不是因果系统，因为y(-π)=x(0), 表明 y(t)在一段时间内可能取决于未来的x(t)。

2.y（t）=x（t）cos（t+1)是因果系统，cos（t+1)是时变函数，相当于一个已知的函数波形，所以x（t）的当前值影响了y（t）的当前值。

系统函数H(z)可以表示为H(z)=Y(z)/X(z)，即输出信号的Z变换与输入信号的Z变换的比值。 如果输入序列是一个单位冲击函数x(k)=δ(k)，则x(k)的Z变换X(z)=1。将其带入H(z)的表达式得到Y(z)=H(z)，这说明如果输入是一个单位冲击序列，则输出信号的Z变换就是H(z)，这就是为什么H(z)叫做单位冲击响应的原因。当输入是单位冲击时，输出信号y(k)的Z变换Y(z)的极点就是H(z)的极点。

对于任意一个右边序列a(k)，其Z变换A(z)的收敛域位于一个以原点为圆心，以某个数值R为半径的圆的圆外。又知道，收敛域内不会有极点，所以R就等于A(z)的极点中离原点最远的那个极点到原点的距离。我们知道傅立叶变换，其思想就是用不同频率的正弦信号来合成原信号。但是原信号不满足傅立叶变换的条件时，傅立叶变换也就失去作用了。拉普拉斯变换部分的解决了这个问题，即用幅度随时间变化的正弦去合成原信号：

exp(σ)cos(ωt+φ)

它不是正弦，而是幅度以e指数规律随时间变化的正弦。这样的一组变幅度的正弦信号可以合成随时间增大而幅度不断增大的单边信号。

Z变换可以由拉普拉斯变换导出，相当于s空间进行了某种扭曲。若将采样频率Ts归一化，则z=exp(s)=exp(σ)exp(jω)。|z|=exp(σ)，于是，|z|<1时，σ<0，对应的是幅度随时间不断衰减的正弦信号；|z|>1时，σ>0，代表幅度随时间不断增大的正弦信号。

若H(z)的所有极点都在单位圆内，那么Y(z)的所有极点也都在单位圆内，则Y(z)的收敛域包含了单位圆，这表明，在单位圆内的一个环形区域也属于Y(z)的收敛域，可以说明，y(k)能够用一组幅度随时间减小的正弦信号进行合成，那么y(k)也是幅度随时间减小的信号。即：对系统输入一个冲击后，经过了若干时间，输出就趋于零了。

若H(z)有极点在单位圆外，则Y(z)有极点在单位圆外，Y(z)的收敛域是一个半径大于1的圆的圆外部分。这说明，y(k)必须使用一组幅度随时间增大的正弦才能合成，那么y(k)的幅度是随着时间增大而增大的，也就是说，系统会不停地输出，而且输出越来越大，这一无法控制的局面仅仅是因为我们输入了一个δ(k)。