消费者均衡

这就是说，消费者对各种物品效用的评价是既定的，不会发生变动。也就是消费者在购买物品时，对各种物品购买因需要程度不同，排列的顺序是固定不变的。比如一个消费者到商店中去买盐、电池和点心，在去商店之前，对商品购买的排列顺序是盐、电池、点心，这一排列顺序到商店后也不会发生改变。这就是说先花第一元钱购买商品时，买盐在消费者心目中的边际效用最大，电池次之，点心排在最后。

由于货币收入是有限的，货币可以购买一切物品，所以货币的边际效用不存在递减问题。因为收入有限，需要用货币购买的物品很多，但不可能全部都买，只能买自己认为最重要的几种。因为每一元货币的功能都是一样的，在购买各种商品时最后多花的每一元钱都应该为自己增加同样的满足程度，否则消费者就会放弃不符合这一条件的购买量组合，而选择自己认为更合适的购买量组合。

由于物品价格既定，消费者就要考虑如何把有限的收入分配于各种物品的购买与消费上，以获得最大效用。由于收入固定，物品价格相对不变，消费者用有限的收入能够购买的商品所带来的最大的满足程度也是可以计量的。因为满足程度可以比较，所以对于商品的不同购买量组合所带来的总效用可以进行主观上的分析评价。

消费者实现效用最大化的均衡条件是：在消费者的货币收入和市场上各种商品的价格既定时，消费者应当使自己购买的各种商品的边际效应与价格之比相等，即消费者花费在各种商品上的最后一单位货币所带来的边际效用相等。

假定消费者的货币收入是既定的，并且在这个收入范围内，每单位货币的边际效用也是稳定不变的。消费者购买商品的过程实际上就是用货币的效应去交换商品效用的过程：付出货币失去货币的效用，消费商品得到商品的效用。在既定的收入与商品价格条件下，如果购买一单位商品所得到的效用大于因付出货币而减少的效用，那么，消费者购买这一单位商品可以增加他的总效用。这时，购买一单位商品是理性的，而且他还应该继续购买。由于商品的边际效用是递减的，当再购买一单位商品所增加的效用降低到小于因付出货币而减少的效用时，购买这一单位商品就会减少消费者的总效用，理性的消费者不会进行这个交易。所以，只要当再购买一单位商品所增加的效用即边际效用等于为此所支付的货币的效用时，消费者就实现了效用最大化，也就实现了消费者均衡。如果以MUx表示商品的边际效用，以Px表示商品的价格，以R表示单位货币的边际效用，消费者均衡的条件可以表达为：

MUx=Px*R

也可以将其变形为： MUx/Px=R

此式的经济学意义是：花费在商品上最后一单位货币所得到的边际效用恰好等于一单位货币本身的效用R。这就是消费者购买一种商品时的均衡条件。

假设消费者用既定的货币收入I购买X、Y两种商品，价格分别为Px、Py,此时，消费者均衡的效用最大化的均衡条件表示为：PxX+PyY=I

                               MUx/Px=R

此式的经济学意义是：花费在商品上的最后一单位货币所得到的边际效用恰好等于一单位货币本身的效用R。这就是消费者购买一种商品时的均衡条件。

下面我们分析消费者购买两种商品时，效用最大化的均衡条件。

假设消费者用既定的货币收入I购买X、Y两种商品，价格分别为Px、Py，此时，消费者效用最大化的均衡条件表示为：

                   PxX+PyY=I

                  MUx/PyY=R 

此均衡条件的经济学含义可以这样表示：消费者应当使X、Y两种商品的边际效用与价格之比相等。

如果MUx/Px＞MUy/Py，意味着同样的1元货币购买商品X所得到的边际效用大于购买商品Y所得到的边际效用。这时，理性的消费者将增加X的购买量，减少Y的购买量。因为当消费者增加1元钱的商品X的购买而相应减少1元钱的商品Y的购买时，增加的X商品的边际效用大于减少的Y商品的边际效用，消费者的总效用会增加。追求效用最大化的消费者会持续这一过程。随着X购买量的增加，Y购买量的减少，X的边际效用递减而Y的边际效用递增，直到MUx/Px=MUy/Py为止。这时消费者得到的总效用最大，他不再调整X和Y的购买量，从而处于均衡状态。

相反，如果MUx/Px＜MUy/Py，意味着同样的1元货币购买商品X所得到的边际效用小于购买商品Y所得到的边际效用。根据同样的道理，理性的消费者应该减少X的购买量，增加Y的购买量，直到MUx/Px=MUy/Py为止。再来分析MUi/Pi=R的条件。如果MUi/Pi＞R，说明消费者用1元钱购买到第i种商品的边际效用，大于所付出的这1元钱的边际效用。说明消费者对第i种商品的购买量是不足的，他应当继续购买第i种商品，以获得更大的效用，直到MUi/Pi=R。如果MUi/Pi＜R，说明消费者用1元钱购买到第i种商品的边际效用，小于所付出的这1元钱的边际效用。说明消费者购买的第i种商品的数量太多了，他应当减少购买第i种商品，把这1元钱花费在至少能产生相等边际效用的其他商品上，以获得更大的效用，直到MUi/Pi=R。

我们可以把此结论推广到多种商品，消费者效用最大化的均衡条件表示为：MUx/Px=MUy/Py=……=MUn/Pn=R

PxX+PyY+PzZ+……+PnN=R

序数效用论解释下的消费者均衡

右图给出了消费者均衡的基本解释。图中U1、U2和U3是既定的无差异曲线图中的三条无差异曲线，直线CD是消费者收入既定、商品价格不变时的一条预算线。预算线I和无差异曲线U1、U2和U3存在3种不同的关系：相交、相切和相离。预算线I与无差异曲线U1相交，表示消费者用既定的收入能够买到交点C、D对应的商品组合，但这些商品组合并不是满足水平或效用水平最高的，因为消费者通过改变购买决策，可以用同样的货币收入实现更高的效用水平。理性的消费者不会选择与交点对应的商品组合。预算线I与无差异曲线U3相离，表示这些商品组合的偏好太高，消费者的预算约束难以达到，是不现实的。只有无差异曲线U2与预算线I相切，其切点E对应的商品组合才是使消费者获得最大满足或最大效用水平的商品组合。

消费者的均衡点E点是预算线与无差异曲线的切点，在均衡点上，预算线与无差异曲线的斜率相等。由于无差异曲线斜率的绝对值是两种商品的边际替代率，预算线斜率的绝对值是两种商品价格比率，因此，消费者均衡的条件是：商品的边际替代率=商品的价格之比。

MRSxy=Px/Py 

该式表示，在最优选择点E上，X对Y的边际替代率必定等于X与Y的价格之比。

由于边际替代率可以用两种商品的边际效用来表示，即：

MRSxy=MUx/MUy

所以： MRSxy=MUx/MUy=Px/Py

即：MUx/MUy=Px/Py

完全互补品的无差异曲线

前面分析的正常形状的无差异曲线是斜率为负，凸向原点的。这是以边际替代率递减和偏好的非饱和性为假设的。特殊情况下，这些假设不能成立，无差异曲线会呈现特殊的形态。

如果两种商品必须按照固定的比率搭配使用，才能够满足消费者的某种偏好，这两种商品就是完全互补品。这时，两种商品之间不具有任何可替代性，因此边际替代率不是递减的，无差异曲线呈直角拐线。如左图所示。

由于1只左鞋必须也只能搭配1只右鞋，达到1双鞋的效用，多1只左鞋或右鞋没有任何效用，所以1只左鞋与2只甚至更多只右鞋搭配也只能是1双鞋的效用，给消费者带来同样的满足程度。同样，1只右鞋与2只甚至更多只左鞋搭配也只能是1双鞋的效用。完全互补品的效用函数一般表示为：U(X,Y)=min（X/a,Y/b）。在上例中，U（X,Y）=min（X,Y）。

在完全互补品的无差异曲线图中，离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高。所有的无差异曲线呈一组直角线，这些线的拐点都从原点出发，斜率为b/a的射线OR上。

完全互补品的无差异曲线

对于完全互补品，消费者总是按照固定比例消费两种商品。在既定的预算约束线下，消费者会选择无差异曲线的拐点作为均衡点。如左图所示。预算线AB与无差异曲线U0有共同点E是消费者在目前预算约束下的最优选择。如果其他条件不变，X商品的价格下降，预算线变动到AB1，这时新的消费者均衡点位于效用更高的无差异曲线U1上，为E1点，对应的商品组合为E1。射线OR就是消费者的价格-消费曲线，也就是价格扩展线。假设X、Y两种商品的价格不变，消费者的收入增加，预算线由AB向外平行移动到CD，新的预算线CD将会与更高的无差异曲线U1有共同点E1，所以消费者的收入-消费曲线，也叫收入扩展线即射线OR。

现在我们分析完全互补品的替代效应与收入效应。如图所示，假设初始的预算线为AB1，当X商品的价格上升时，预算线绕着A点转动到AB，均衡点由E1变动到E,需求量由X1减少到X0。价格效应ΔX=X0-X1。做一条与AB平行并且通过E1点的补偿预算线CD，可以得到，均衡点仍然是E1。所以，替代效应为零，即ΔX’=0。补偿预算线CD向内平移到AB，均衡点变动到E点。可见，收入效应等于价格效应，即ΔX”=ΔX。由于两种商品不具有任何可替代性，当其中一种商品的价格下降时，消费者不可能增加购买价格下降的商品来替代价格不变的商品，所以仍然保持原来的选择，即替代效应为零，收入效应等于全部的价格效应。

完全替代品

完全替代品下的消费者均衡

如果消费者愿意按照固定比例用一种商品代替另外一种商品，这两种商品就是完全替代品。完全替代品的效用函数一般表示为：U（X,Y）=aX+bY。例如，在某消费者看来，一个苹果和一个香蕉具有同等的效用，带给他完全相同的满足。不管消费者拥有多少数量的两种水果，他总是愿意用1个苹果去换1个香蕉，即两者之间的替代比率是1:1。在这种情况下，边际替代率固定不变，始终为一常数，相应的，无差异曲线是一组斜率不变的平行线。如图所示，以横轴表示苹果的数量，纵轴表示香蕉的数量，无差异曲线是U1，U2，U3……这样的一组平行线。在无差异曲线U1上，商品组合给消费者带来的满足程度都是完全相同的，是无差异的。消费者始终愿意以1:1的比例在两种商品之间进行替代。无差异曲线U2和U3则是满足程度更高的点的组合，表示更高的效用水平。在完全替代且替代比率是1:1的情况下，消费者对两种商品的价格非常敏感，通常会购买价格便宜的那种商品。只要两种商品的价格不不相等，消费者均衡点就会位于某一个坐标轴上，表示消费者只购买其中便宜的那种商品，对另外一种商品的需求量是零。如图所示。

在图中，U1、U2、U3为一组斜率是-1的无差异曲线，表示X、Y两种商品的边际替代率是1.假设初始的预算线为AB1，其斜率的绝对值大于1，意味着X商品的价格比Y商品的价格高。在这样预算约束下，消费者均衡点就是A点，表示消费者对X商品的需求量为零，对Y商品的需求量是I/Py。

如果两种商品的价格相等，那么预算线的斜率与无差异曲线的斜率相等，都是-1，预算线与无差异曲线完全重合完全重合为AB线。这时会有一系列的最优选择，消费者可能可能会全部消费X商品,也可能完全消费Y商品，也可能随机选择AB线上的其他商品组合点。如果Y商品的价格高于X商品，对应的预算线为A1B，则消费者均衡点是B点，表示消费者对Y商品的需求量为零，对X商品的需求量是I/Px。

对于完全替代品的价格效应，我们仍然可以将其分解为替代效应和收入效应。如图所示，初始预算线位于AB1，消费者均衡点是A点，对于X商品的需求量是零；当X商品的价格下降时，预算线绕着A点转动到AB2，消费者均衡点则变动到B2点，对X商品的需求量增加到I/Px，价格效应ΔX=I/Px-0=I/Px。按照补偿预算线的定义，作一条过A点并且与AB2平行的补偿预算线，这样的预算线只能是预算线AB2本身。可见，由于两种商品具有完全替代的关系，所以替代效应等于价格效应，收入效应等于零，即：ΔX’=ΔX，ΔX”=0。

实例分析

例题图

（1）例题：假设某个消费者准备购买X与Y两种商品，已知两种商品的价格分别为Px=10，Py=20元，该消费者的收入为100元，并将其全部用于购买X和Y两种商品。两种商品的边际效用MUx和MUy如表，此消费者应该购买多少X，多少Y才能使得总效用最大？

例题图2

（2）分析过程

根据收入约束条件：100=10X+20Y的限制，该消费者能够购买的X  和Y这两种商品的所有整数的组合是有限的。依据给定的条件，该消费者购买这两种商品不同数量的组合，及相应的MUx/Px与MUy/Py和总效用，如表3所示。根据表3所列出的资料，运用实现消费均衡的限制条件，就可以确定该消费者实现效用最大化的两种商品的购买量组合比例。

例题图三

由表2可以看出：只有在Qx=4，Qy=3的购买量组合时，才既符合收入条件的限制，又符合MUx/Px=MUy/Py的要求。此时，该消费者购买X商品所带来的总效用为14，购买Y商品所带来的总效用为15，购买X商品与Y商品所带来的总效用为14+15=29。也就是实现了消费均衡。具体分析过程和结果见表2和表3。