广义函数

历史上第一个广义函数是由英国物理学家

亦称分布。定义在一类“性质很好”的函数空间上的连续线性泛函,它来源于量子力学中的狄喇克δ函数,是经典的函数概念的推广。

考虑某个一维的温度分布T(x),“测得在点x0的温度T(x0)”是无法精确实现的,任何精密的仪器测量到的都至多是x0附近温度的综合平均效应。粗糙地说,实际能测量的是值

∫+∞-∞T(x)φ(x)dx,

这里φ表示“综合平均”的权重。各种各样的测量相当于φ在某个函数类F中变化。原则上说,人们要了解的“点-点函数”T(x)等于了解数集

自然,这里的F是一个充分大的函数类。换言之,对函数来说不必一定用经典方式,即一定要知道每点x0处相应的T(x0),而把函数看做作用于某个函数类F上的泛函:φ→(T,φ),其中

最简单的泛函就是连续线性泛函。广义函数就是某种函数空间上的连续线性泛函。

在泛函分析观念下的广义函数论中,测试用的函数空间F通常称为基本函数空间(参见“基本函数空间K”等)。由于F的选择不同,因而出现不同空间上的广义函数,有的是此空间上的广义函数,而非另一空间上的广义函数,但一般总是选择F是由性质既充分良好(例如充分光滑的函数)又充分多的函数构成的线性空间,并按一定拓扑完备。如此选择的目的无非是使得相当多的普通函数都能视为广义函数,更重要的目的是使广义函数具有预期的很好的分析性质(如可微性,逐项可微性等)。

广义函数是泛函分析的一个重要分支,被广泛应用于数学、物理、力学以及分析数学的其他各分支,例如微分方程、随机方程、流形理论等。它还被应用到群的表示理论,特别是它有力地促进了偏微分方程近30年来的发展。最早用泛函分析观点为广义函数论建立起一整套严格理论,是由施瓦兹(Schwarz,L)于1945年实现的。